\chapter{1848年发布洛希极限 Roche limit}
\section{概述}
\includegraphics[scale=0.5]{HillSphere}
洛希极限（Roche limit）是一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相等时的距离。当两个天体的距离少于洛希极限，天体就会倾向碎散，继而成为第二个天体的环。它以首次(1848年)计算这个极限的人爱德华·洛希（Édouard Roche，1820年10月17日—1883年4月18日）命名。

洛希极限常用于行星和环绕它的卫星。有些天然和人工的卫星，尽管它们在它们所环绕的星体的洛希极限内，却不至成碎片，因为它们除了引力外，还受到其他的力。木卫十六和土卫十八是其中的例子，它们和所环绕的星体的距离少于流体洛希极限。它们仍未成为碎片是因为有弹性，加上它们并非完全流体。在这个情况，在卫星表面的物件有可能被潮汐力扯离卫星，要视乎物件在卫星表面哪部分——潮汐力在两个天体中心之间的直线最强。一些内部引力较弱的物体，例如彗星，可能在经过洛希极限内时化成碎片。苏梅克－列维9号彗星就是好例子。它在1992年经过木星时分成碎片，1994年落在木星上。现时所知的行星环都在洛希极限之内。
\subsection{计算方法}
设洛希极限为d。

对于一个完全刚体、圆球形的卫星，假设其物质都是因为重力才合在一起的，且所环绕的行星亦是圆球形，并忽略其他因素如潮汐变形及自转。
其中r、R分别是卫星、卫星所环绕的主星体的半径，$\rho_m,\rho_M$分别是卫星、主星星体的密度。

如果卫星是流体，潮汐力会拉长它，令它变得更易碎裂。

由于有黏度、摩擦力、化学链等影响，大部分卫星都不是完全流体或刚体，其洛希极限都在这两个界限之间。如果一个刚体卫星的密度是所环绕的星体的密度两倍以上（例如一个巨大的气体行星跟刚体卫星；对于流体卫星来说，则要约14.2倍以上），d<R，洛希极限会在所环绕的星体之内，即是说这个卫星永远都不会因为所环绕的星体的引力而碎裂。
\subsection{公式导出}
https://www.bilibili.com/read/cv2061289

假设除了引力之外没有其他力，且卫星和所环绕的行星的形状是圆球。
考虑卫星表面的最接近行星的小质量u，有两股力作用在u上：卫星的引力和行星的引力。基于卫星在行星引力场内自由降落，潮汐力不过是行星引力同义词。
设d为卫星和行星中心的距离，r、R分别是卫星、行星的半径，m、M分别是卫星、行星的质量，$\rho_m,\rho_M$分别是卫星、行星的密度。$F_G$是卫星作用在u上的引力，根据牛顿引力定律，

\begin{align}
	F_G&=\frac{Gmu}{r^2}
\end{align}

潮汐力是行星对小质量在不同位置的引力差异导致：

\begin{align}
	F_T&=\frac{GMu}{(d-r)^2}-\frac{GMu}{d^2}\\
	F_T&=GMu\frac{d^2-(d-r)^2}{d^2(d-r)^2}\\
	F_T&=GMu\frac{2dr-r^2}{d^4-2d^3r+r^2d^2}
\end{align}

一般情况下，$r\ll d,r\ll R$，略去分子分母高阶小量，得

\begin{align}
	F_T&=GMu\frac{2dr}{d^4}\\
	F_T&=\frac{2GMur}{d^3}
\end{align}

当卫星对小质量的引力等于行星对小质量的潮汐力，达到了洛希极限：

\begin{align}
	F_G&=F_T\\
	\frac{Gmu}{r^2}&=\frac{2GMur}{d^3}\\
	d&=r(2\frac{M}{m})^{\frac{1}{3}}
\end{align}

由于质量等于密度与体积的乘积，所以

\begin{align}
	M&=\frac{4\pi}{3}\rho_MR^3\\
	m&=\frac{4\pi}{3}\rho_mr^3\\
	d&=r(2\frac{\rho_MR^3}{\rho_mr^3})^{\frac{1}{3}}\\
	d&=R(2\frac{\rho_M}{\rho_m})^{\frac{1}{3}}\approx 1.26R(\frac{\rho_M}{\rho_m})^{\frac{1}{3}}\label{RochelimitOfRigidBody}
\end{align}

式\ref{RochelimitOfRigidBody}是刚体洛希极限的近似公式。

由于近距离卫星很可能在同步自转的近圆轨道运行，还需考虑自转的离心力对其影响：

\begin{align}
	F_C&=\omega^2ur=\frac{GMur}{d^3}
\end{align}

将离心力加入潮汐力的方程中：

\begin{align}
	d&=R(3\frac{\rho_M}{\rho_m})^{\frac{1}{3}}\approx 1.442R(\frac{\rho_M}{\rho_m})^{\frac{1}{3}}\label{RochelimitOfRigidBodyspin}\\
	d&=R(3\frac{M}{m})^{\frac{1}{3}}\approx 1.442R(\frac{M}{m})^{\frac{1}{3}}\label{RochelimitOfRigidBodyspin2}\\
	d&=(\frac{9M}{4\pi\rho_m})^{\frac{1}{3}}\approx 0.8947(\frac{M}{\rho_m})^{\frac{1}{3}}\label{RochelimitOfRigidBodyspin3}
\end{align}

根据式\ref{RochelimitOfRigidBodyspin3}，得到主星质量和卫星密度，即可计算主星相对卫星的刚体洛希极限。

如果更严谨一些，考虑自转时动态坐标影响，推导过程较复杂，此处不予给出。
\subsection{应用}
洛希极限是一个距离。当行星与恒星密度相等时，它等于恒星赤道半径的2.44倍。当天体和第二个天体的距离为洛希极限时，天体自身的重力和第二个天体造成的潮汐力相等。如果它们的距离少于洛希极限，天体就会倾向碎散，继而成为第二个天体的环。它以首个计算这个极限的人爱德华·洛希命名。
最常应用的地方就是卫星和它所环绕的星体。有些天然和人工的卫星，尽管它们在它们所环绕的星体的洛希极限内，却不至成碎片，因为它们除了引力外，还有其他的力帮助。在这些情况下，在卫星表面的物件有可能被潮汐力扯离卫星，要视乎物件在卫星表面哪部分——潮汐力在两个天体中心之间的直线最强。
一些内部引力较弱的物体，例如彗星，可能在经过洛希极限内时化成碎片。苏梅克－列维9号彗星就是好例子。它在1992年经过木星时分成碎片，1994年落在木星上。现时所知的行星环都在洛希极限之内。
